Question

若函数f（x）=x²+ax+b（a、b为实数，x∈R）且f（x）＜4解集为（-3，1）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）比较x³+3x与f（x）的大小．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,函数解析式的求解及常用方法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由题意化简f（x）＜4，由f（x）＜4的解集与对应方程的根的关系、韦达定理求出a、b的值，代入即可求出函数f（x）的表达式；
（2）化简x³+3x-f（x）的表达式，再对x分类讨论，分别判断出各个式子的符号，从而判断出x³+3x与f（x）的大小．

解答： 解：（1）由f（x）=x²+ax+b得，f（x）＜4为：x²+ax+b-4＜0，
因为f（x）＜4解集为（-3，1），所以-3、1是方程x²+ax+b-4=0的两个根，
则

-3+1=-a -3×1=b-4

，解得a=2、b=1，
所以f（x）=x²+2x+1；
（2）由（1）得，x³+3x-f（x）=x³-x²+x-1=（x-1）（x²+1），
当x＞1时，（x-1）（x²+1）＞0，则x³+3x＞f（x）；
当x=1时，（x-1）（x²+1）=0，则x³+3x=f（x）；
当x＜1时，（x-1）（x²+1）＜0，则x³+3x＜f（x）．

点评：本题考查一元二次不等式的解集与对应方程根的关系，一元二次方程根与系数关系，以及作差法比较大小，属于基础题．