Question

【题目】已知函数．（是自然对数的底数，）

（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；

（2）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．

Answer 1

【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出函数的定义域为，利用导数得出函数在和上均为增函数，并利用零点存在定理得出函数在上有一个零点，得出，再证明出也满足方程，从而得出函数有两个零点；

（2）由题意得出，利用这个关系式得出函数在点处的切线斜率为，从而证明出题中结论.

（1）函数的定义域为，，

所以，函数在、上单调递增.

又，.

所以，函数在区间有唯一零点，即，即.

又，，

因此，函数在区间有唯一零点.

综上所述，有且仅有两个零点；

（2）因为 ，所以点在曲线上.

由题设，即.

所以直线的斜率

因为曲线在点处切线的斜率是，

曲线在点处切线的斜率也是，

因此，曲线在点处的切线也是曲线的切线.