Question

【题目】两个函数在公共定义域上恒有，则称这两个函数是该区间上的“同步函数”.

（1）试判断与是否为公共定义域上的“同步函数”？

（2）已知函数与是公共区域上的“同步函数”，求实数的取值范围；

（3）已知与在上是“同步函数”，求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）不是；（2）或；（3）.

【解析】

（1）由反正弦函数的定义域和值域、指数函数的单调性，结合新定义即可判断；

（2）分别讨论，对应方程的系数是否成比例，以及判别式的符号，解不等式，结合新定义，即可得到所求范围；

（3）运用对数函数的定义域可得，求得，的零点，由于，讨论当时，当时，当时，由不等式的性质即可得到所求范围．

(1)在递增,在递减，

当时,,而在时,,不满足，

故与不为公共定义域上的“同步函数”；

(2)由与是公共区域上的“同步函数”，

可得在公共定义域上，

若，对应的方程是同解方程，

则，解得.

此.

若,对应的方程不是同解方程，

要保证对于定义域内的任意实数，函数值乘积均为正，

则需要分子分母的判别式均小于，

即，

解得.

的范围是.

当时,函数化为与，

大于等于,的判别式小于,大于恒成立，函数值乘积恒非负.

综上，则实数a的取值范围是或；

(3)由定义域可得，由题意可得，

由,可得,

由，可得，

由题意可得两零点之间无正整数，

由于,所以当时,，不满足题意；

当时,,不满足题意；

当时,，满足题意.

则的范围是.