Question

5．已知圆C：x²+y²-2x-4y+m=0
（1）求m的取值范围；
（2）当m=1时，若圆C与直线x+ay-2=0交于M，N两点，且CM⊥CN，求a的值．

Answer 1

分析 （1）把圆C的方程化为标准形式，根据半径大于零，求得m的范围．
（2）由题意可得，弦心距等于半径的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍，再利用点到直线的距离公式，求得a的值．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-2x-4y+m=0，即圆C：（x-1）²+（y-2）² =5-m，∴m＜5．
（2）当m=1时，∴圆C：（x-1）²+（y-2）² =4，
圆心C：（1，2），半径r=2，
∵CM⊥CN，∴弦心距d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，即 $\frac{|1+2a-2|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，化简：2a²-4a-1=0，
求得a=$\frac{2±\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．