题目内容

14．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（{x+1}）^2}，x≤0\\ \left|{{{log}_2}x}\right|，x＞0\end{array}\right.$，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则${x_3}（{{x_1}+{x_2}}）+\frac{1}{{x_3^2{x_4}}}$的取值范围为（　　）
A．（-1，+∞）B．（-1，1]C．（-∞，1）D．[-1，1）

分析 作出函数f（x），得到x1，x2关于x=-1对称，x3x4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作函数f（x）的图象如右，
∵方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，
∴x1，x2关于x=-1对称，即x1+x2=-2，
0＜x3＜1＜x4，
则|log2x3|=|log2x4|，
即-log2x3=log2x4，
则log2x3+log2x4=0
即log2x3x4=0
则x3x4=1；
当|log2x|=1得x=2或$\frac{1}{2}$，
则1＜x4≤2；$\frac{1}{2}$≤x3＜1；
故${x_3}（{{x_1}+{x_2}}）+\frac{1}{{x_3^2{x_4}}}$=-2x3+$\frac{1}{{x}_{3}}$，$\frac{1}{2}$≤x3＜1；
则函数y=-2x3+$\frac{1}{{x}_{3}}$，在$\frac{1}{2}$≤x3＜1上为减函数，
则故x3=$\frac{1}{2}$取得最大值，为y=1，
当x3=1时，函数值为-1．
即函数取值范围是（-1，1]．
故选：B

点评 本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．

练习册系列答案
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