Question

10．设实数a，b满足：1≤b≤a≤$\sqrt{3}$，则$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-1}{ab}$的最大值为$\frac{4\sqrt{3}-1}{3}$．

Answer 1

分析 由1≤b≤$\sqrt{3}$，1≤a≤$\sqrt{3}$，b≤a，可得$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤$\frac{1}{a}$≤1，$\frac{b}{a}$≤1，即有$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤t=$\frac{b}{a}$≤1，由对号函数的单调性，可得最大值．

解答 解：由1≤b≤$\sqrt{3}$，1≤a≤$\sqrt{3}$，
可得1≤ab≤3，
由1≤b≤$\sqrt{3}$，1≤a≤$\sqrt{3}$，b≤a，
可得$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤$\frac{1}{a}$≤1，$\frac{b}{a}$≤1，
即有$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤t=$\frac{b}{a}$≤1，
则$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-1}{ab}$≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-\frac{1}{3}ab}{ab}$=$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$-$\frac{1}{3}$，
由于$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$=t+$\frac{1}{t}$在[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]递减，可得
t+$\frac{1}{t}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
即有$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$-$\frac{1}{3}$≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-$\frac{1}{3}$，
即有最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}-1}{3}$．

点评 本题考查最值的求法，注意运用不等式的性质和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．