Question

20．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD=AB=1，$\overrightarrow{BG}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$，则$\overrightarrow{PG}$与底面ABCD的夹角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{34}}{17}$
• B． $\frac{3\sqrt{17}}{17}$
• C． -$\frac{2\sqrt{34}}{17}$
• D． -$\frac{3\sqrt{17}}{17}$

Answer 1

分析 由已知条件分别求出|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{GD}$|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，PG=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，由此能求出$\overrightarrow{PG}$与底面ABCD的夹角的正弦值．

解答 解：∵在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD=AB=1，$\overrightarrow{BG}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$，
∴|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{GD}$|=$\frac{2}{3}|\overrightarrow{BD}|$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
PG=$\sqrt{G{D}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{8}{9}+1}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，
设$\overrightarrow{PG}$与底面ABCD的夹角为θ，
则sinθ=sin∠PGD=$\frac{1}{\frac{\sqrt{17}}{3}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$．
∴$\overrightarrow{PG}$与底面ABCD的夹角的正弦值为$\frac{3\sqrt{17}}{17}$．
故选：B．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．