Question

11．如图所示，四棱锥P  ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=$\sqrt{2}$，AD=2，PA=PD=$\sqrt{5}$，E，F分别是棱AD，PC的中点，二面角PADB为60°．
（1）证明：平面PBC⊥平面ABCD；
（2）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接PE，BE，由已知推导出∠PEB为二面角P-AD-B的平面角，推导出BE⊥PB，BE⊥BC，由此能证明平面PBC⊥平面ABCD．
（2）连接BF，由BE⊥平面PBC，得∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角，由此能求出直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

解答 证明：（1）连接PE，BE，
∵PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，
∴PE⊥AD，BE⊥AD，∴∠PEB为二面角P-AD-B的平面角．
在△PAD中，由PA=PD=$\sqrt{5}$，AD=2，解得PE=2．
在△ABD中，由BA=BD=$\sqrt{2}$，AD=2，解得BE=1．
在△PEB中，PE=2，BE=1，∠PEB=60?，
由余弦定理，解得PB=$\sqrt{4+1-2×2×1×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
∴∠PBE=90?，即BE⊥PB．
又BC∥AD，BE⊥AD，∴BE⊥BC，∴BE⊥平面PBC．
又BE?平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD．
解：（2）连接BF，由（1）知，BE⊥平面PBC，
∴∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．
∵PB=$\sqrt{3}$，∠ABP为直角，MB=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，∴EF=$\frac{\sqrt{11}}{2}$．
又BE=1，∴在直角三角形EBF中，sin∠EFB=$\frac{BE}{EF}$=$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．
∴直线EF与平面PBC所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．