Question

5．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为DD₁，DB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）求B₁E与平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判断定理即可证明EF∥平面ABC₁D₁，（2）根据直线和平面所成角的定义即可求直线B₁E与平面AEC所成角的正弦值．

解答 （1）证明：如图示：
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
连接AD₁，BD₁，BC₁，则ABC₁D₁为平行四边形，
∵E，F分别为DD₁、DB的中点，
∴EF∥BD₁，
∵BD₁?平面ABC₁D₁，EF?平面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁．
（2）解：由题意得：AE=EC，且F是中点，
∴EF⊥AC，∴∠B₁EF是直线B₁E与平面AEC所成角，
∵B₁E=$\sqrt{{{{D}_{1}B}_{1}}^{2}{{+D}_{1}E}^{2}}$=3，B₁F=$\sqrt{{FB}^{2}{+{BB}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
EF=$\sqrt{{DE}^{2}{+DF}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴${{EB}_{1}}^{2}$=EF²+${{FB}_{1}}^{2}$，
∴sin∠B₁EF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面平行的判断以及直线和平面所成角的求解，要求熟练掌握相应的判断定理．