Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=-aln（-x）-（a+1）x．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）当a＞-1时，讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性，并指出其单调区间；
（3）若对于任意的x∈（0，+∞），f（x）≥-

1

2

x2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0，f（x）=-f（-x）即可得出．
（2）当x＞0时，f（x）=alnx-（a+1）x，可得f′（x）=

a

x

-（a+1）=

a-(a+1)x

x

=

-(a+1)(x- a a+1 )

x

．对a分类讨论：当a＞0时，当a=0时，当-1＜a＜0时，利用导数研究函数的单调性即可得出．
（3）由x＞0，可得x＞lnx．于是f（x）≥-

1

2

x2恒成立?alnx-（a+1）x+

1

2

x2≥0恒成立?a≤

1 2 x2-x

x-lnx

．再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（1）设x＞0，则-x＜0．
∵当x＜0时，f（x）=-aln（-x）-（a+1）x．
∴f（-x）=-alnx+（a+1）x，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，f（x）=-f（-x）=alnx-（a+1）x．
∴f（x）=

-aln(-1)-(a+1)x，x＜0 0，x=0 alnx-(a+1)x，x＞0

．
（2）当x＞0时，f（x）=alnx-（a+1）x，
f′（x）=

a

x

-（a+1）=

a-(a+1)x

x

=

-(a+1)(x- a a+1 )

x

．
当a＞0时，令f′（x）＞0，解得0＜x＜

a

a+1

，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得x＞

a

a+1

，此时函数f（x）单调递减．
当a=0时，f（x）=-x在（0，+∞）上的单调递减．
当-1＜a＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
综上可得：当a＞0时，函数f（x）在0＜x＜

a

a+1

单调递增；函数f（x）在x＞

a

a+1

时单调递减．
当-1＜a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
（3）∵x＞0，∴x＞lnx．
∴f（x）≥-

1

2

x2恒成立?alnx-（a+1）x+

1

2

x2≥0恒成立?a≤

1 2 x2-x

x-lnx

．
令g（x）=

1 2 x2-x

x-lnx

，则g′(x)=

(x-1)( 1 2 x+1-lnx)

(x-lnx)2

，
令h（x）=

1

2

x+1-lnx，则h′（x）=

1

2

-

1

x

=

x-2

2x

，可知：当x=2时，函数h（x）取得极小值即最小值h（2）=2-ln2＞0．
令g′（x）＞0，解得x＞1，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=1时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（1）=-

1

2

．
∴a≤-

1

2

．
∴实数a的取值范围是(-∞，-

1

2

]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．