Question

5．已知双曲线$C：\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$满足条件：（1）焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0）；（2）离心率为$\frac{5}{3}$，求得双曲线C的方程为f（x，y）=0．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线C的方程仍为f（x，y）=0，则下列四个条件中，①双曲线$C：\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$上的任意点P都满足||PF₁|-|PF₂||=6；②双曲线$C：\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的虚轴长为4；③双曲线$C：\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的一个顶点与抛物线y²=6x的焦点重合；④双曲线$C：\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的渐近线方程为3x+4y=0．符合添加的条件共有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 利用已知条件求出双曲线方程，然后通过其它体积求出双曲线的标准方程，即可判断选项．

解答 解：对于①，∵||PF₁|-|PF₂||=2a=6，∴a=3 
又∵焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0），∴c=5
∴离心率e=$\frac{5}{3}$，故①符合条件；
对于②，双曲线C的虚轴长为4，∴b=2，a=$\sqrt{21}$
∴离心率e=$\frac{5}{\sqrt{21}}$，故②不符合条件；
对于③，双曲线C的一个顶点与抛物线y²=6x的焦点重合，
∴a=$\frac{3}{2}$，e=$\frac{10}{3}$，故③不符合条件；
对于④，∵渐近线方程为3x+4y=0 
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{4}$，
又∵c=5，c²=a²+b²，∴a=4
∴离心率e=$\frac{5}{4}$，故④不符合条件．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质，标准方程的求法，命题的真假的判断，是基础题．