Question

11．若“?x∈[1，2]，使2x²-λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2$\sqrt{2}$]
• B． [2$\sqrt{2}$，$\frac{9}{2}$]
• C． （-∞，3]
• D． [$\frac{9}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 若“?x∈[1，2]，使得2x²-λx+1＜0成立”是假命题，即“?x∈[1，2]，使得λ＞2x+$\frac{1}{x}$成立”是假命题，根据函数的性质可得实数λ的取值范围．

解答 解：若“?x∈[1，2]，使得2x²-λx+1＜0成立”是假命题，
即“?x∈[1，2]，使得λ＞2x+$\frac{1}{x}$成立”是假命题，
故?x∈[1，2]，λ≤2x+$\frac{1}{x}$恒成立，
令f（x）=2x+$\frac{1}{x}$，x∈[1，2]，
f′（x）=2-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{2}-1}{{x}^{2}}$＞0，
故f（x）在[1，2]递增，
f（x）_min=f（1）=3，
∴λ≤3，
故选：C．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了特称命题，函数恒成立问题，难度中档．