Question

选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如下图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．

（1）求AC的长；

（2）求证：BE ＝ EF．

Answer 1

【解析】
（1）∵PA2=PCPD，PA=2，PC=1，∴PD=4，

又∵PC=ED=1，∴CE=2，

∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，

∴△PAC∽△CBA，∴

∴AC2=PCAB=2，∴AC=（5分）

（2）∵BE=AC=，CE=2，而CEED=BEEF，

∴EF=，∴EF=BE．（10分）

【解析】

试题分析：（1）由PA是圆的切线结合切割线定理得比例关系，求得PD，再由角相等得三角形相似：△PAC∽△CBA，从而求得AC的长；

（2）欲求证：“BE=EF”，可先分别求出它们的值，比较即可，求解时可结合圆中相交弦的乘积关系．

考点：与圆有关的比例线段，几何证明

点评：本题主要考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理以及相似三角形的知识．