Question

（本小题满分10分）（1）设，试比较与的大小；

（2）是否存在常数，使得对任意大于的自然数都成立？若存在，试求出的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

故函数有最小值，则恒成立； 3分

（2）取进行验算：，，，

，猜测：①，， 5分

②存在，使得恒成立．

证明一：对，且，

有

．

又因，故，

从而有成立，即．

所以存在，使得恒成立． 10分

证明二：由（1）知：当时，，

设，，

则，所以，，，

当时，再由二项式定理得：

，

即对任意大于的自然数恒成立，

从而有成立，即．

所以存在，使得恒成立． 10分

【解析】

试题分析：（1）复合函数求导求最值；（2）取进行验算，得a=2,用二项式定理证明

考点：复合函数的导数，二项式定理

点评：本题考查了复合函数的导数，二项式定理等综合应用，属难题．