Question

1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，DM=$\frac{1}{3}$DE，若$\overrightarrow{AB}$=a，$\overrightarrow{AC}$=b．
（1）用a，b表示$\overrightarrow{BM}$；
（2）若N为线段BC上的点，且BN=$\frac{1}{3}$BC，利用向量方法证明：A，M，N三点共线．

Answer 1

分析 （1）根据向量加法、减法及数乘的几何意义，以及三角形中位线的性质便可得到$\overrightarrow{BM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）=-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{b}$；
（2）同样可根据条件求得$\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$，这样便得到$\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AM}$，从而有A，M，N三点共线．

解答 解：（1）根据条件，$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DM}$
=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE}$
=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}$
=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$
=$-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{b}$；
（2）证明：$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{a}+（-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{b}）$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$；
∴$\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AM}$；
∴A，M，N三点共线．

点评 考查向量加法、减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，三角形中位线的性质，共线向量基本定理．