题目内容
已知F1，F2是双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线与左支交于A、B两点，若
•
=0，4|
|=3|
|，则双曲线的离心率是 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| AB |
| AF2 |
| AB |
| AF2 |
考点：双曲线的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：根据双曲线的性质，设|
|=m，求出|BF2|，建立a，c之间的关系即可得到结论．
| AF2 |
解答：
解：设
|
|=m，则|
|=
|
|=
m，
∵
•
=0，
∴
⊥
，
则|BF2|=
=
=
m，
由双曲线的定义可知，|AF2|-|AF1|=2a，
|BF2|-|BF1|=2a，
两式相加得，|AF2|+|BF2|-（|BF1|+|AF1|）=4a，
即m+
m-
m=4a，
即
=4a，解得m=
a，则|AF2|-2a=|AF1|=m-2a=
a-2a=
，
又|AF2|2+|AF1|2=|F2F1|2，
∴m2+（
）2=4c2，
即（
a）2+（
）2=4c2，
则
a2=4c2，
即
=
，
即e=
．
故答案为：
．
|| AF2 |
| AB |
| 3 |
| 4 |
| AF2 |
| 3 |
| 4 |
∵
| AB |
| AF2 |
∴
| AB |
| AF2 |
则|BF2|=
| AB2+AF12 |
m2+(
|
| 5 |
| 4 |
由双曲线的定义可知，|AF2|-|AF1|=2a，
|BF2|-|BF1|=2a，
两式相加得，|AF2|+|BF2|-（|BF1|+|AF1|）=4a，
即m+
| 5 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
即
| 6m |
| 4 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
又|AF2|2+|AF1|2=|F2F1|2，
∴m2+（
| 2a |
| 3 |
即（
| 8 |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
则
| 68 |
| 9 |
即
| c2 |
| a2 |
| 17 |
| 9 |
即e=
| ||
| 3 |
故答案为：
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据双曲线的定义，建立方程关系是解决本题的关键，综合性较强．
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