Question

△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量m=（2sinB，2-cos2B），n=（1+sinB，-1），且m⊥n．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC不是钝角三角形，且a=

3

，b=1，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由两向量垂直时满足的关系列出关系式，求出sinB的值，即可确定出角B的大小；
（Ⅱ）法1：由三角形不为钝角三角形，求出B的度数，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinA的值，确定出A的度数，进而得到C为直角，即可求出三角形ABC面积；法2：由三角形不为钝角三角形，求出B的度数，利用余弦定理求出c的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（2sinB，2-cos2B），

n

=（1+sinB，-1），且

m

⊥

n

，
∴2sinB+2sin²B+cos2B-2=2sinB+2sin²B-2sin²B+1-2=0，即sinB=

1

2

，
∵B为三角形内角，
∴B=

π

6

或

5π

6

；
（Ⅱ）法1：∵△ABC不是钝角三角形，
∴B=

π

6

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinA=

asinB

b

=

3 × 1 2

1

=

3

2

，
∴A=

π

3

，即C=

π

2

，
则S_△ABC=

1

2

ab=

3

2

；
法2：∵△ABC不是钝角三角形，
∴B=

π

6

，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
∴1=3+c²-3c，
∴c=1或c=2，
经检验，当c=1时，△ABC是钝角三角形，不符合题意，舍去，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

2

．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．