Question

18．在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E为BC的中点，若F为该矩形内（含边界）任意一点，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的最大值为18．

Answer 1

分析 可分别以直线DC，DA为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，进而求出A，E的坐标，并设F（x，y），从而可求出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}=4x-y+2$，这样设z=4x-y+2，利用线性规划的方法即可求出z的最大值，即求出数量积的最大值．

解答 解：据条件，分别以边DC，DA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：

A（0，2），E（4，1），设F（x，y），x0≤x≤4，0≤y≤2；
∴$\overrightarrow{AE}=（4，-1），\overrightarrow{AF}=（x，y-2）$；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}=4x-y+2$；
设z=4x-y+2，则y=4x+（2-z）；
∴2-z是直线y=4x+（2-z）在y轴上的截距，截距最小时，z最大；
可看出直线y=4x+（2-z）过点C（4，0）时z最大；
即0=16+2-z，z=18．
故答案为：18．

点评 考查通过建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，能确定平面上点的坐标，数量积的坐标运算，线性规划求最值的方法．