Question

12．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点与双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的一个焦点重合．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若点P（4，2），直线l为双曲线E的左准线，点M为抛物线上任意一点，设d为M到直线l距离，求MP+d的最小值，并求取得最小值时M点坐标．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点与双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的一个焦点重合，求出p，即可求抛物线C的标准方程；
（2）MP+d最小时，MP⊥l，即可得出结论．

解答 解：（1）双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的一个焦点为（3，0），
∴$\frac{p}{2}$=3，∴p=6，
∴抛物线C的标准方程为y²=12x；
（2）双曲线E的左准线方程为x=-$\frac{4}{3}$，
MP+d最小时，MP⊥l，最小值为4+$\frac{4}{3}$=$\frac{16}{3}$，
将y=2，代入y²=12x，可得x=$\frac{1}{3}$，∴M（$\frac{1}{3}$，2）．

点评 本题考查抛物线的方程，考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．