Question

（本题满分12分）

“坐标法”是以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究图形的几何性质的方法，它是解析几何中是基本的研究方法. 请用坐标法证明下面问题：

已知圆O的方程是，点，P、Q是圆O上异于A的两点.证明：弦PQ是圆O直径的充分必要条件是.

Answer 1

详见解析.

【解析】

试题分析：若,即.设直线AP的方程是.与圆方程联立消去可得关于的一元二次方程.从而可求得点坐标.同理可得点坐标.可得的坐标.根据坐标可得.从而可知三点共线,即是圆直径; 若弦是圆的直径,可设.根据向量数量积公式可得.

试题解析：证明: 充分性:若,即

设直线AP的方程是，

代入得 2分

因为，所以，从而得 4分

因为，所以直线AQ的方程

以代换点Q坐标中的，得 5分

显然,即弦是圆的直径 6分

（Ⅱ）必要性:若弦是圆的直径,设，

10分

因为,所以 12分

考点：1充分必要条件;2向量数量积.