Question

3．已知函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1）．
（1）若0＜a＜1，f（2x+3）+f（1-3x）＞0，求x的取值范围；
（2）若f（1）=$\frac{3}{2}$，求x∈（2，3），函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）判断函数的f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化求解即可．
（2）根据条件先求出a的值，结合函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）∵f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
若0＜a＜1，则f（x）为增函数，
则f（2x+3）+f（1-3x）＞0，
等价为f（2x+3）＞-f（1-3x）=f（3x-1），
即2x+3＞3x-1，
即x＜4，
即x的取值范围是（-∞，4）；
（2）若f（1）=$\frac{3}{2}$，
则a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，
即2a²-3a-2=0，
解得a=2或a=$-\frac{1}{2}$（舍），
即f（x）=2^x-2^-x，
∵f（x）在x∈（2，3）上是增函数，
∴f（2）＜f（x）＜f（3），
即4-$\frac{1}{4}$＜f（x）＜8-$\frac{1}{8}$，
即$\frac{15}{4}$＜f（x）＜$\frac{63}{8}$，
即函数的f（x）的值域为（$\frac{15}{4}$，$\frac{63}{8}$）．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合指数幂的运算性质以及指数函数的性质是解决本题的关键．