Question

7．已知函数f（x）=log_a$\frac{x-5}{x+5}$（a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）设g（x）=log_a（x-3），h（x）=f（x）-g（-x）-1在其定义域内有零点，求a的取值范围；
（3）是否存在实数m使得f（x+2）+f（m-x）为常数？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定义域，利用函数的奇偶性的定义证明即可．
（2）化简h（x）=f（x）-g（-x）-1，构造$h（x）={x^2}+（2-\frac{1}{a}）x-15+\frac{5}{a}$，求出对称轴，通过a的讨论，求解即可．
（3）若存在这样的m，化简f（x+2）+f（m-x），利用常数，转化为（k-1）x²+（m-2）（1-k）x-3（m-5）-7k（m+5）=0对定义域内的x恒成立，求解即可．

解答 解：（1）f（x）为奇函数$\frac{x-5}{x+5}＞0$解得定义域为{x|x＞5或x＜-5}
关于原点对称．（1分）
$f（-x）={log_a}\frac{-x-5}{-x+5}=-{log_a}\frac{x-5}{x+5}=-f（x）$，所以f（x）为奇函数      （2分）

（2）方程${x^2}+（2-\frac{1}{a}）x-15+\frac{5}{a}=0$在（5，+∞）上有解              （4分）

设$h（x）={x^2}+（2-\frac{1}{a}）x-15+\frac{5}{a}$对称轴$x=-1+\frac{1}{2a}$
①$-1+\frac{1}{2a}≤5$即$a≥\frac{1}{12}且a≠1$，则h（5）＜0，无解
②$-1+\frac{1}{2a}＞5$即$0＜a＜\frac{1}{12}$，则△≥0解得$0＜a≤\frac{{3-\sqrt{5}}}{16}$
综上$0＜a≤\frac{{3-\sqrt{5}}}{16}$（8分）

（3）若存在这样的m，则$f（x+2）+f（m-x）={log_a}\frac{x-3}{x+7}•\frac{-x+m-5}{-x+m+5}={log_a}\frac{{-{x^2}+（m-2）x-3（m-5）}}{{-{x^2}+（m-2）x+7（m+5）}}$
所以$\frac{{-{x^2}+（m-2）x-3（m-5）}}{{-{x^2}+（m-2）x+7（m+5）}}$为常数，设$\frac{{-{x^2}+（m-2）x-3（m-5）}}{{-{x^2}+（m-2）x+7（m+5）}}=k$
则（k-1）x²+（m-2）（1-k）x-3（m-5）-7k（m+5）=0对定义域内的x恒成立
所以$\left\{\begin{array}{l}{k-1=0}\\{（m-2）（1-k）=0}\\{-3（m-5）-7k（m+5）=0}\end{array}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=-2}\end{array}}\right.$
所以存在这样的m=-2．（12分）

点评 本题考查函数恒成立，函数的零点，转化思想分类讨论思想的应用以及计算能力．