Question

18．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求三棱锥D-AEC的体积；
（3）设点M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

分析 （1）推导出AE⊥BC，BF⊥AE，由此能证明AE⊥BE．
（2）由V_D-AEC=V_E-ADC，能求出三棱锥D-AEC的体积．
（3）过点M作MG∥AE，交BE于点G，过点G作GN∥BC，交BC于点N，连接MN，推导出GN∥平面ADE，由此能求出当点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点时，MN∥平面ADE．

解答 证明：（1）由AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC，…2分
而BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，
又BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，
又BE?平面BCE，∴AE⊥BE．…4分
解：（2）在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H，则EH⊥平面ACD．
由已知及（Ⅰ）得EH=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，S_△ADC=2$\sqrt{2}$．…6分
故V_D-AEC=V_E-ADC=$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{4}{3}$．…8分
（3）在△ABE中过点M作MG∥AE，交BE于点G，
在△BEC中，过点G作GN∥BC，交BC于点N，
连接MN，则由$\frac{CN}{CE}=\frac{BG}{BE}=\frac{MB}{AB}=\frac{1}{3}$，得CN=$\frac{1}{3}CE$，…10分
∵MG∥AE，MG?平面ADE，AE?平面AED，
∵MG∥平面ADE，由GN∥BC，BC∥AD，
∴GN∥平面ADE，
又MN?平面MGN，则MN∥平面ADE．
∴当点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点时，MN∥平面ADE．…13分．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查满足条件的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．