Question

已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率,A为右顶点,K为右准线与X轴的交点，且.
(I)求椭圆的标准方程；
(II)设椭圆的上顶点为B，问是否存在直线l,使直线l交椭圆于C，D两点，且椭圆的左焦点巧恰为ΔBCD的垂心?若存在,求出l的方程_r若不存在,请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）设焦点坐标为F₁(-c，0)，F₂(c，0)，
由，得．   ①
由题知 A(a，0)，K(，0)，
∴ =(c-a，0)，=(-a，0)，
由得②
由①、②解得，c=1，从而b²=a²-c²=1，即b=1．
∴ 椭圆方程为．……………………………………………………4分
（Ⅱ）假设存在直线l满足题意，B(0，1)，F₁(-1，0)，
于是直线F₁B的斜率为．
由于BF₁⊥CD，令l：y=-x+m，代入x²+2y²=2整理，得
3x²-4mx+2m²-2=0.
令C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，则
又=(x₁+1，y₁)·(x₂，y₂-1)
=x₁x₂+x₂+y₁y₂-y₁
=x₁x₂+x₂+(m-x₁)(m-x₂)-(m-x₁)
=2x₁x₂+m²-m(x₁+x₂)-m+(x₁+x₂)
=2x₁x₂ +(1-m)(x₁+x₂) +m²-m，
由，代入x₁+x₂，x₁x₂得，
整理得3m²+m-4=0，
解得m=1或．……………………………………………………………10分
当m=1时，直线l恰过B点，于是B、C、D不构成三角形，故m=1舍去．
当的，满足Δ=8(3-m²)>0．
故所求的直线l为：，即3x+3y+4=0．

略