Question

函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）在R上的导函数f′（x）＞

1

2

，则不等式f（lnx）＜

1+lnx

2

的解集为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：设g（lnx）=f（lnx）-

1+lnx

2

，得出g（x）在R上是增函数，且g（1）=0．所以f（lnx）＜

1+lnx

2

的解集即是g（lnx）＜0=g（1）的解集，解出即可．

解答： 解：设g（lnx）=f（lnx）-

1+lnx

2

，
∵f（1）=1，f'（x）＞

1

2

，
∴g（1）=f（1）-1=0，g′（x）=f′（x）-

1

2

＞0，
∴g（x）在R上是增函数，且g（1）=0．
令t=lnx（t＞0），则g（t）=f（t）-

1+t

2

，
∴f（t）＜

1+t

2

的解集即是g（t）＜0=g（1）的解集．
∴t＜1即lnx＜1，
∴0＜x＜e，
故答案为：（0，e）．

点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，对数函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．