Question

5．已知集合A={x|0＜x＜m，m＞0}，B={y|y=2x+1，x∈A}，C={z|z=x²-2x+3，x∈A}，若B∩C=C，求m的取值范围．

Answer 1

分析 根据题意，求出集合B=（1，2m+1），由B∩C=C得出C⊆B，讨论m的取值，由C⊆B列出不等式组，求出m的取值范围．

解答 解：∵集合A={x|0＜x＜m，m＞0}，B={y|y=2x+1，x∈A}，
∴B={y|1＜y＜2m+1}=（1，2m+1），
C={z|z=x²-2x+3，x∈A}={z|z=（x-1）²+2，x∈A}；
又B∩C=C，∴C⊆B；
当0＜m＜1时，C=（m²-2m+3，3），
由C⊆B，得$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-2m+3≥1}\\{2m+1≥3}\end{array}\right.$，
解得m≥1，∴m的值不存在；
当1≤m＜2时，C=[2，3），
由C⊆B，得2m+1≥3，
解得m≥1，
∴1≤m＜2；
当m≥2时，C=[2，m²-2m+3），
由C⊆B，得$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-2m+3≤2m+1}\\{m≥2}\end{array}\right.$；
解得2≤m≤2+$\sqrt{2}$，
综上，m的取值范围是{m|1≤m≤2+$\sqrt{2}$}

点评 本题考查了集合的运算问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．