Question

已知f(x)=2

3

cos2x+6sinxcosx-

3

(x∈R)，
（1）求函数f（x）的单调递减区间，并指出函数y=f（x）的图象是由函数y=2

3

sin2x的图象经过怎样的变换得到的；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的最值，并求出函数取最值时的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的三角函数化简函数，得到y=2

3

sin（2x+

π

6

），进而得到单调递减区间；y=2

3

sin2x向左平移

π

12

得到y=2

3

sin（2x+

π

6

）；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，，求出2x+

π

6

的范围，进而得到sin（2x+

π

6

）的范围，从而得到函数f（x）的 范围，从而求得函数f（x）的最大值．

解答：解：（1）f（x）=

3

（1+cos2x）+3sin2x-

3

=

3

（cos2x+

3

sin2x）
=2

3

sin（2x+

π

6

）

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
∴f（x）的单调减区间[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z
y=2

3

sin2x向左平移

π

12

得到y=2

3

sin（2x+

π

6

）
（2）∵x∈[0，

π

2

]
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时，f（x）min=-

3

，
当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）max=2

3

．

点评：本题考查两角和差的三角函数，求三角函数的值域，求三角函数的值域是解题的难点．