Question

已知f(x)=x+

4

x

，当x∈[1，3]时的值域为[n，m]，则m-n的值是（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  2

  3

• C．1
• D．

  4

  3

Answer 1

分析：先对函数求导，可得f′（x）=1-

4

x2

，判断其在[1，3]上的符号可得f（x）的单调性，进而可得最小值即n的值，比较端点值的大小，可得最大值即m；进而可得答案．

解答：解：f（x）=x+

4

x

，则f′（x）=1-

4

x2

，
易得在[1，2]上，f′（x）＜0，则f（x）是减函数，在[2，3]上，f′（x）＞0，则f（x）是增函数，
则f（x）在[1，3]上最小值为f（2）=4，即n=4；
且f（1）=5，f（3）=

13

3

，有f（1）＞f（3），
则f（x）在[1，3]上最大值为f（1）=5，即m=4；
m-n=5-4=1；
故选C．

点评：本题考查利用导数求函数在闭区间的最值，解题的关键在于正确求出导函数，并判断导函数在区间上的符号．