Question

已知F是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点，点P在椭圆C上，且线段PF与圆(x-

c

3

)2+y2=

b2

9

（其中c²=a²-b²）相切于点Q，且

PQ

=2

QF

，则椭圆C的离心率等于（　　）

• A．

  5

  3

• B．

  2

  3

• C．

  2

  2

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：设椭圆的左焦点为F₁，确定PF₁⊥PF，，|PF₁|=b，|PF|=2a-b，即可求得椭圆的离心率．

解答：解：设椭圆的左焦点为F₁，连接F₁，设圆心为C，则
∵(x-

c

3

)2+y2=

b2

9

∴圆心坐标为(

c

3

，0)，半径为r=

b

3

∴|F₁F|=3|FC|
∵

PQ

=2

QF

，
∴PF₁∥QC，|PF₁|=b
∴|PF|=2a-b
∵线段PF与圆(x-

c

3

)2+y2=

b2

9

（其中c²=a²-b²）相切于点Q，
∴CQ⊥PF
∴PF₁⊥PF
∴b²+（2a-b）²=4c²
∴b²+（2a-b）²=4（a²-b²）
∴a=

3

2

b
∴c=

a2-b2

 =

5

2

b
∴e=

c

a

=

5

3

故选A．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查直线与圆的位置关系，确定几何量的关系是关键．