Question

如图，圆柱内接直三棱柱，该三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径，且。在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为

（1）当点C在圆周上运动时，求的最大值；

（2）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。

Answer 1

解： （1）设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为

=，又因为，

所以=，当且仅当时等号成立，

从而，而圆柱的体积，

故=当且仅当，即时等号成立，

所以的最大值是。

（2）由（1）可知，取最大值时，，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），

因为平面，所以是平面的一个法向量，

设平面的法向量，由，故，

取得平面的一个法向量为，因为，

所以。故=