Question

【题目】如图，四棱锥中， 为等边三角形，且平面平面， ， ， .

（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】证明见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：

（Ⅰ）取的中点为，连接， ，结合条件可证得平面，于是，又，故可得．（Ⅱ）由题意可证得， ， 两两垂直，建立空间直角坐标系，通过求出平面和平面的法向量可求解本题．

试题解析：

证明：（Ⅰ）取的中点为，连接， ，

∵为等边三角形，

∴.

在底面中，可得四边形为矩形，

∴，

∵，

∴平面，

∵平面，

∴.

又，

∴.

（Ⅱ）∵平面面， ，

∴平面，

由此可得， ， 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．

∵直线与平面所成角为，即，

由，知，得.

则， ， ， ，

， ， ，

设平面的一个法向量为.

由，得．

令，则．

设平面的一个法向量为，

由，得．

令，则，

∴ ，

由图形知二面角为钝角，

∴二面角的余弦值为.