Question

【题目】设函数f (x)＝ln x－x＋1.

(1)讨论函数f (x)的单调性；

(2)证明当x∈(1，＋∞)时， ；

(3)设c>1，证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>cx.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】试题分析：（1）求出，在定义域内分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间； （2）原不等式等价于，运用（1）的单调性可得，设，求出单调性，即可得到成立；（3）设，求出导数，可令，由， 可得，由（1）可得有一解，设为是的最小值点，运用最值，结合不等式的性质，即可得证，

试题解析：(1)解　由f (x)＝ln x－x＋1(x>0)，得f ′(x)＝－1.

令f ′(x)＝0，解得x＝1.

当0<x<1时，f ′(x)>0，f (x)单调递增.

当x>1时，f ′(x)<0，f (x)单调递减.

因此f (x)在(0，1)上是增函数，在x∈(1，＋∞)上为减函数.

(2)证明　由(1)知，函数f (x)在x＝1处取得最大值f (1)＝0.

∴当x≠1时，ln x<x－1.

故当x∈(1，＋∞)时，ln x<x－1，ln<－1，即1<<x.

(3)证明　由题设c>1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，

则g′(x)＝c－1－cxln c.

令g′(x)＝0，解得x0＝.

当x<x0时，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当x>x0时，g′(x)<0，g(x)单调递减.

由(2)知1<<c，故0<x0<1.

又g(0)＝g(1)＝0，故当0<x<1时，g(x)>0.

∴当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>cx.