Question

（1）设，试比较与的大小；
（2）是否存在常数，使得对任意大于的自然数都成立？若存在，试求出的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ），利用放缩法证明

试题分析：（Ⅰ）设，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故函数有最小值，则恒成立      4 分
（Ⅱ）取进行验算：




猜测：①，
②存在，使得恒成立。        6分
证明一：对，且，
有





又因，
故                  8分
从而有成立，即
所以存在，使得恒成立              10分
证明二：
由（1）知：当时，，
设，，
则，所以，，，
当时，再由二项式定理得：

即对任意大于的自然数恒成立，          8分
从而有成立，即
所以存在，使得恒成立              10分
点评：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法。在证明时,关键在于分析待证不等式的结构与特征,选用适当的方法完成不等式的证明