Question

在平面直角坐标系xOy中，设椭圆T的中心在坐标原点，一条准线方程为，且经过点(1，0)．

（1）求椭圆T的方程；

（2）设四边形ABCD是矩形，且四条边都与椭圆T相切．求证：满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上；

Answer 1

（1）因为椭圆T的中心在坐标原点，一条准线方程为y＝2，

所以椭圆T的焦点在y轴上，于是可设椭圆T的方程为＋＝1(a＞b＞0)．

因为椭圆T经过点(1，0)，

所以  解得

故椭圆T的方程为．

（2）由题意知，矩形ABCD是椭圆的外切矩形，

(i)若矩形ABCD的边与坐标轴不平行，则可设一组对边所在直线的方程为，

则由消去y得，

于是，化简得．

所以矩形ABCD的一组对边所在直线的方程为，即，

则另一组对边所在直线的方程为，

于是矩形顶点坐标(x，y)满足，

即，亦即．

(ii)若矩形ABCD的边与坐标轴平行，则四个顶点显然满足．

故满足条件的所有矩形的顶点在定圆上．