Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短
轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.
(1)求椭圆的标准方程和离心率；
(2)若为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一个定点，使到点的距离为定值？若存在，求出点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1) 椭圆的标准方程为. 离心率  
(2)存在一个定点，使到点的距离为定值，其定值为

本试题主要是考查了椭圆方程的求解以及轨迹方程的求解来判定点是否存在。
（1）根据已知中椭圆的几何性质得关于参数a，b，c的关系式，进而解得。
（2）利用比值为定值，设出点的坐标，然后利用M的轨迹方程求解得到结论。
解：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得
.
所以椭圆的标准方程为.……………………6分
离心率…………………………7分
(2),设由得
……………………10分
化简得，即……………………12分
故存在一个定点，使到点的距离为定值，其定值为………13分