Question

.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线的距离为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在斜率为 ，且过定点的直线，使与椭圆交于两个不同的点、，且？若存在，求出直线的方程;若不存在,请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）. （Ⅱ）或。

本试题主要是考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系的运用。
（1）设椭圆的方程为,由已知得.    
设右焦点为，由题意得 得到结论。
（2）直线的方程   ， 代入椭圆方程,得
    
由  得结合韦达定理和点在线段的中垂线上，得到k的值。
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为,由已知得.    
设右焦点为，由题意得     ……………………………2分
.  
椭圆的方程为.    ……………………4分
（Ⅱ）直线的方程   ， 代入椭圆方程,得
    
由  得…………………6分
设点则   
设、的中点为，则点的坐标为.  ………………8分 
点在线段的中垂线上.                      
     化简,得 .  ……………………………10分 
 
所以,存在直线满足题意，直线的方程为
或 ……………………………12分