Question

15．已知2sina+cosa=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，则tan2a=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 把已知等式两边平方，化为切函数，求出tana的值，代入倍角公式得答案．

解答 解：由2sina+cosa=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，得
$（2sina+cosa）^{2}=\frac{5}{2}$，即$4si{n}^{2}a+4sinacosa+co{s}^{2}a=\frac{5}{2}$．
∴$\frac{4si{n}^{2}a+4sinacosa+co{s}^{2}a}{si{n}^{2}a+co{s}^{2}a}=\frac{5}{2}$，
∴$\frac{4ta{n}^{2}a+4tana+1}{ta{n}^{2}a+1}=\frac{5}{2}$．
则3tan²a+8tana-3=0．
解得：tana=-3或tana=$\frac{1}{3}$．
当tana=-3时，tan2a=$\frac{2tana}{1-ta{n}^{2}a}$=$\frac{3}{4}$；
当tana=$\frac{1}{3}$时，tan2a=$\frac{2tana}{1-ta{n}^{2}a}$=$\frac{3}{4}$．
综上，tan2a=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查三角函数的化简与求值，考查了计算能力，是中档题．