Question

已知椭圆的两个焦点分别为,且,点在椭圆上,且的周长为6.
(I)求椭圆的方程;
(II)若点的坐标为,不过原点的直线与椭圆相交于两点,设线段的中点为,点到直线的距离为,且三点共线.求的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）根据题中条件确定、、的值，进而确定椭圆的方程；（Ⅱ）对直线的斜率存在与否进行分类讨论，并在相应的情况下求出的最大值，并作出比较，尤其是在处理直线的斜率存在，一般将直线的方程设为，借助韦达定理，确定与之间的关系，然后将化为自变量为或的函数，借助函数的最值来求取，但要注意相应自变量的取值范围.
试题解析：解:(I)由已知得且,
解得,又,
所以椭圆的方程为.
3分
(II)设.
当直线与轴垂直时,由椭圆的对称性可知,点在轴上,且与点不重合,
显然三点不共线,不符合题设条件.
故可设直线的方程为.
由消去整理得
.                ①
则,
所以点的坐标为.
因为三点共线,所以,
因为,所以,
此时方程①为,则,
所以,
又,
所以,
故当时,的最大值为.
13分