题目内容
设椭圆
的左焦点为F, 离心率为
, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若
, 求k的值.
的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若
, 求k的值. (Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅱ)(Ⅰ)设
，由
知，
，过点F且与x轴垂直的直线为
，代入椭圆方程有
，解得
，于是
=，解得
，又
，从而
，
，所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)设点
由F(-1,0)得直线CD的方程为
,代入椭圆方程消去
，整理得
，求解可得
，
，
因为
，
，所以
+
=
=
=
=
，
由已知得=8，解得.
本题第（Ⅰ）问，由于过点F且与x轴垂直的直线为，所以代入椭圆方程，并结合离心率即可求出；第(Ⅱ)问，把直线CD的方程代入椭圆方程，然后由韦达定理，平面向量的坐标运算，就可求出结果.在联立方程组以及进行平面向量的运算时，注意计算要细心，联立方程组后，用设而不求的思想.
【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算能力，以及用方程思想解决问题的能力.
，由知，，过点F且与x轴垂直的直线为，代入椭圆方程有，解得，于是=，解得，又，从而，，所以椭圆的方程为.(Ⅱ)设点
由F(-1,0)得直线CD的方程为,代入椭圆方程消去，整理得，求解可得，，因为
，，所以+=
===
，由已知得
=8，解得.本题第（Ⅰ）问，由于过点F且与x轴垂直的直线为
，所以代入椭圆方程，并结合离心率即可求出；第(Ⅱ)问，把直线CD的方程代入椭圆方程，然后由韦达定理，平面向量的坐标运算，就可求出结果.在联立方程组以及进行平面向量的运算时，注意计算要细心，联立方程组后，用设而不求的思想.【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算能力，以及用方程思想解决问题的能力.
练习册系列答案
相关题目
中，
、
分别是椭圆
的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于
、
两点，其中
轴的垂线，垂足为
．连接
，并延长交椭圆于点
．设直线
的斜率为
．
时，求
时，求点
的距离；
，求证：
．
的两个焦点分别为
,且
,点
在椭圆上,且
的周长为6.
的方程;
,不过原点
的直线与椭圆
两点,设线段
的中点为
,点
,且
三点共线.求
的最大值.
的左右焦点坐标分别是
，离心率
，直线
与椭圆
.
的长度.
圆
动圆
与圆
外切并与圆
内切，圆心
.
是与圆
两点，当圆
.
的左焦点为F
的左、右焦点，P为直线
上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
,右顶点为
,设点
.
是椭圆上的动点，求线段
中点
的轨迹方程；
与抛物线
的焦点均在
轴上，
；
与椭圆
，且
（其中
坐标原点），请问是否存在这样的直线
若存在，求出直线