题目内容
设椭圆
的左焦点为F, 离心率为
, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若
, 求k的值.



(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若

(Ⅰ)
(Ⅱ)


(Ⅰ)设
,由
知,
,过点F且与x轴垂直的直线为
,代入椭圆方程有
,解得
,于是
=
,解得
,又
,从而
,
,所以椭圆的方程为
.
(Ⅱ)设点
由F(-1,0)得直线CD的方程为
,代入椭圆方程
消去
,整理得
,求解可得
,
,
因为
,
,所以
+
=
=
=
=
,
由已知得
=8,解得
.
本题第(Ⅰ)问,由于过点F且与x轴垂直的直线为
,所以代入椭圆方程,并结合离心率即可求出;第(Ⅱ)问,把直线CD的方程代入椭圆方程,然后由韦达定理,平面向量的坐标运算,就可求出结果.在联立方程组以及进行平面向量的运算时,注意计算要细心,联立方程组后,用设而不求的思想.
【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算能力,以及用方程思想解决问题的能力.













(Ⅱ)设点








因为




=



=


由已知得



本题第(Ⅰ)问,由于过点F且与x轴垂直的直线为

【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算能力,以及用方程思想解决问题的能力.

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