题目内容
已知椭圆:的离心率为,直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左焦点为,右焦点,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,
线段垂直平分线交于点,求点的轨迹的方程;
(Ⅲ)设与轴交于点,不同的两点在上,且满足,求的取值范围.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左焦点为,右焦点,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,
线段垂直平分线交于点,求点的轨迹的方程;
(Ⅲ)设与轴交于点,不同的两点在上,且满足,求的取值范围.
(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)
试题分析:(Ⅰ)利用离心率和直线与圆相切得到两个等量关系,确定椭圆方程;(Ⅱ)利用定义法求解曲线方程;(Ⅲ)采用坐标法,将向量问题坐标化,进行有效的整理为,然后借助均值不等式进行求解范围.
试题解析:(Ⅰ)∵
∵直线相切,
∴ ∴ 3分
∵椭圆的方程是 6分
(Ⅱ)∵,
∴动点到定直线:的距离等于它到定点的距离,
∴动点的轨迹是为准线,为焦点的抛物线 6分
∴点的轨迹的方程为 9分
(Ⅲ),设、
∴
∵,∴
∵,化简得 11分
∴
当且仅当即时等号成立 13分
∵,又
∴当即时,,故的取值范围是 14分
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