Question

16．已知定义在R上的函数f（x）满足f（4+x）=f（x），且x∈（-2，2]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（|x+\frac{1}{x}|-|x-\frac{1}{x}|），0＜x≤2}\\{-（{x}^{2}+2x），-2＜x≤0}\end{array}\right.$则函数g（x）=f（x）-|log₄|x||的零点个数是（　　）

• A． 4
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 求出函数f（x）的周期，画出函数的图象，函数g（x）=f（x）-|log₄|x||的零点个数，转化为：y=f（x）的图象与y=|log₄|x||图象交点个数．

解答 解：定义在R上的函数f（x）满足f（4+x）=f（x），函数的周期为4，
且x∈（-2，2]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（|x+\frac{1}{x}|-|x-\frac{1}{x}|），0＜x≤2}\\{-（{x}^{2}+2x），-2＜x≤0}\end{array}\right.$，
函数g（x）=f（x）-|log₄|x||的零点个数，就是：y=f（x）的图象与y=|log₄|x||图象交点个数．
画出函数的图象如图，y=f（x）∈[0，1]，y=|log₄|x||是偶函数，当x=4时y=1，|x|＞4与y=f（x）
的图象没有交点，由函数的图象可知两个函数的交点个数为9个．（图象中红点）．
故选：D．

点评 本题考查函数的零点个数的判断，考查数形结合以及分析问题解决问题的能力．