Question

已知椭圆的离心率为,且过点．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线A   C、BD过原点O，若,
（i） 求的最值．
（ii） 求证：四边形ABCD的面积为定值；

Answer 1

(1). (2)(i)的最大值为2.  (ii)
.即,四边形ABCD的面积为定值        

试题分析：(1)由题意，，又，              2分
解得,椭圆的标准方程为.                      4分
(2)设直线AB的方程为，设
联立，得 
     -①
                                                    6分
  
                            7分

=                          8分

                                                    9分
(i)


当k=0(此时满足①式),即直线AB平行于x轴时，的最小值为-2.
又直线AB的斜率不存在时，所以的最大值为2.              11分
(ii)设原点到直线AB的距离为d，则

.
即,四边形ABCD的面积为定值                      13分
点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式.