Question

已知椭圆过点，且离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在过点的直线交椭圆于不同的两点M、N，且满足（其中点O为坐标原点），若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（2）存在直线：或满足题意

试题分析：（1）∵椭圆过点，且离心率，
∴ ，                                                                ……2分
解得：,，                                                          ……4分 
∴椭圆的方程为：.                                                     ……5分
（2）假设存在过点的直线交椭圆于不同的两点M、N，且满足．   ……6分
若直线的斜率不存在，且直线过点，则直线即为y轴所在直线,
∴直线与椭圆的两不同交点M、N就是椭圆短轴的端点,
∴,
∴,
∴直线的斜率必存在，不妨设为k ,                                                  ……7分
∴可设直线的方程为：，即,
联立 ,消y得 ,
∵直线与椭圆相交于不同的两点M、N,
∴ 得：    ①                    ……8分
设,
∴,
∴,                 ……9分
又,
∴,
化简得,         
∴或，经检验均满足①式,                                            ……10分
∴直线的方程为：或,                                       ……11分
∴存在直线：或满足题意．                             ……12分
点评：涉及到直线与圆锥曲线的位置关系时，如果需要设出直线方程，不要忘记考虑直线的斜率是否存在，联立直线与圆锥曲线方程后，不要忘记验证判别式大于零.