Question

已知正项等比数列{a_n}满足：a₁=1，a₇=a₆+2a₅，若a_ma_n=16，则

1

m

+

4

n

的最小值为（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  5

  3

• C、

  25

  6

• D、不存在

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由已知中正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，我们易求出数列的公比，再结合a_ma_n=16，我们可以求出正整数m，n的和，再结合基本不等式中“1”的活用，即可得到答案．

解答： 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁=1，a₇=a₆+2a₅，∴q⁶=q⁵+2q⁴
即q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）
∵a_ma_n=16，∴m+n=6
则6（

1

m

+

4

n

）=（m+n）（

1

m

+

4

n

）=5+（

n

m

+

4m

n

）≥5+4=9
则

1

m

+

4

n

≥

9

6

=

3

2

．
故选A．

点评：本题考查的知识点是等比数列的性质，基本不等式，其中根据已知中正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，a_ma_n=16，将问题转化为用基本不等式求最值是解答本题的关键．