题目内容
12．在直角坐标系xOy中，椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=$\frac{5}{3}$．（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的点N满足四边形MF1NF2是平行四边形，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l的方程．
分析 （Ⅰ）由C2：y2=4x，得F2（1，0），设M（x1，y1），由M在C2上，得${x}_{1}=\frac{2}{3}，{y}_{1}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，再由M在C1上，且椭圆C1的半焦距c=1，能求出椭圆C1的方程．
（Ⅱ）四边形MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O，推导出l的方程为y=$\sqrt{6}$（x-m），由$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\\{y=\sqrt{6}（x-m）}\end{array}\right.$，得9x2-16mx+8m2-4=0，由此利用韦达定理、向量的数量积、根的判别式，能求出直线l的方程．
解答 解：（Ⅰ）由C2：y2=4x，得F2（1，0），
设M（x1，y1），M在C2上，∵|MF2|=$\frac{5}{3}$，∴${x}_{1}+1=\frac{5}{3}$，
解得${x}_{1}=\frac{2}{3}，{y}_{1}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
M在C1上，且椭圆C1的半焦距c=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{9{a}^{2}}+\frac{8}{3{b}^{2}}=1}\\{{b}^{2}={a}^{2}-1}\end{array}\right.$，消去b2，并整理，得9a4-37a2+4=0，
解得a=2，或a=$\frac{1}{3}$（舍），
故椭圆C1的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）四边形MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O，
∵l∥MN，∴l与OM的斜率相同，
故l的斜率k=$\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{\frac{2}{3}}$=$\sqrt{6}$，
则l的方程为y=$\sqrt{6}$（x-m），
由$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\\{y=\sqrt{6}（x-m）}\end{array}\right.$，消去y，得9x2-16mx+8m2-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{16m}{9}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{m}^{2}-4}{9}$，
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴x1x2+y1y2=0，
x1x2+y1y2=x1x2+6（x1-m）（x2-m）
=7${x}_{1}{x}_{2}-6m（{x}_{1}+{x}_{2}）+6{m}^{2}$
=7×$\frac{8{m}^{2}-4}{9}-6m×\frac{16m}{9}+6{m}^{2}$
=$\frac{1}{9}（14{m}^{2}-28）=0$，
解得m=$±\sqrt{2}$，
此时△=（16m）2-4×9（8m2-4）＞0，
故所求直线l的方程为y=$\sqrt{6}x-2\sqrt{3}$或y=$\sqrt{6}x+2\sqrt{3}$．
点评 本题考查椭圆方程和直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量的数量积、根的判别式、椭圆性质的合理运用．
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如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆C与圆C′：（x-2）2+y2=1有且仅有A，B两个交点，且交点都在圆C′的左方，相交所得的弦AB长为$\frac{2\sqrt{5}}{3}$| A． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B． | $\frac{3}{4}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{1}{4}$ |