Question

1．记min|a，b|为a、b两数的最小值，当正数x，y变化时，令t=min|2x+y，$\frac{2y}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$|，则t的最大值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由新定义可得t≤2x+y，t≤$\frac{2y}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$，（x，y＞0），由两式相乘，结合重要不等式，可得t的最大值．

解答 解：由t=min|2x+y，$\frac{2y}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$|，可得
t≤2x+y，t≤$\frac{2y}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$，（x，y＞0），
即有t²≤$\frac{4xy+2{y}^{2}}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$，
由$\frac{4xy+2{y}^{2}}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$=$\frac{2（2xy+{y}^{2}）}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$≤$\frac{2（{x}^{2}+{y}^{2}+{y}^{2}）}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$=2，
可得t²≤2，解得0＜t≤$\sqrt{2}$．
可得t的最大值为$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查最值的求法，注意运用不等式的性质和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．