Question

18．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）
（1）若直线x-y-2=0过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程，并求出准线方程；
（2）设p=2，A，B是C上异于坐标原点O的两个动点，满足OA⊥OB，△ABO的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），由点（$\frac{p}{2}$，0）在直线x-y-2=0上，能求出抛物线C的方程及其准线方程．
（2）由p=2，知C：y²=4x．设AB：x=my+n，将AB的方程代入C得：y²-4my-4n=0． 由OA⊥OB，得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+mn（y₁+y₂）+n²=0．将y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n代入上式得n=4．由此能求出m=0时，△AOB的面积最小，最小值为16．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），…（2分）
由于点（$\frac{p}{2}$，0）在直线x-y-2=0上，得$\frac{p}{2}-0-2=0$，即p=4，…（3分）
所以抛物线C的方程为y²=8x，其准线方程为x=-2． …（5分）
（2）∵p=2，∴C：y²=4x．设AB：x=my+n，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）．
将AB的方程代入C得：y²-4my-4n=0． …（7分）
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+mn（y₁+y₂）+n²=0．
将y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n代入上式得n=4． …（9分）
∴△AOB的面积S=$\frac{1}{2}×4×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=2$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=8$\sqrt{{m}^{2}+4}$，…（11分）
∴m=0时，即A（4，4），B（4，-4）时，△AOB的面积最小，最小值为16．…（12分）

点评 本题考查抛物线方程及其准线方程的求法，考查三角形面积是否存在最小值的判断与求法，考查抛物线、韦达定理、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．