Question

（09年湖北八校联考理）（14分）

已知数列中，，，其前项和满足.令.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求证：（）；

（Ⅲ）令（），求同时满足下列两个条件的所有的值：①对于任意正整数，都有；②对于任意的，均存在，使得时，

Answer 1

解析：（Ⅰ）由题意知即……1

∴

……2′

检验知、时，结论也成立，故.…………3′

（Ⅱ）由于

故

.…………6′

（Ⅲ）（）当时，由（Ⅱ）知：，即条件①满足；又，

∴.

取等于不超过的最大整数，则当时，.…9′

（）当时，∵，，∴，∴.

∴.

由（）知存在，当时，，

故存在，当时，，不满足条件. …12′

（）当时，∵，，∴，∴.

∴.

取，若存在，当时，，则.

∴矛盾. 故不存在，当时，.不满足条件.

综上所述：只有时满足条件，故.…………14′