Question

（09年湖北八校联考文）(12分)如图，已知正三棱柱的各棱长都为，为棱上的动点．

(Ⅰ)当时，求证：．                              

(Ⅱ) 若，求二面角的大小．              

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，求点到平面的距离．              

 

Answer 1

解析：解法一 公理化法

（1）当时，取的中点，连接，因为为正三角形，则，由于为的中点时，

∵平面,∴平面,∴.………………………………………………4分

（2）当时，过作于,如图所示，则底面,过作于,连结，则,为二面角的平面角，

又,

又，

,即二面角的大小为.……………………………8分

(3)设到面的距离为，则,平面,

即为点到平面的距离，

又，

即解得，

即到平面的距离为.………………………………………12分

解法二 向量法

以为原点，为轴，过点与垂直的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设，则

（1）由得，

则，

，………………………………4分

（2）当时，点的坐标是

设平面的一个法向量，则即

取，则，

又平面的一个法向量为

又由于二面角是一个锐角，则二面角的大小是.……………………8分

（3）设到面的距离为，

则

到平面的距离为.………………………………………………………………………12分