Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²+mx+

7

2

（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．
（1）求直线l的方程及实数m的值；
（2）若函数h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）′的导函数），求函数h（x）的最大值；
（3）当0＜b＜a时，求证：alna+blnb＞（a+b）ln

a+b

2

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据导数的几何意义，建立方程关系即可求直线l的方程及实数m的值；
（2）根据函数的最值和导数之间的关系，即可求函数h（x）的最大值；
（3）将不等式进行等价变形，利用凸凹函数的性质进行判断．

解答： 解：（Ⅰ）∵直线l与函数f（x）的图象相切，且切点的横坐标为1．
∴切点坐标为P（1，ln1），即P（1，0）
∴f′（x）=

1

x

，即切线斜率为k=f′（1）=1，
∴直线l的方程为y=x-1
又∵直线l与函数y=g（x）的图象相切，设切点为Q（x₀，x₀-1）
∴

x0-1= 1 2 x 2 0 +mx0+ 7 2 g′(x0)=x0+m=1

，
解得m=-2或4
∵m＜0，∴x₀=-2
故所求直线方程为y=x-1，m的值是-2．
（Ⅱ）由（I）得g′（x）=x-2
∴h（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+2
求导：h′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，x＞0，
由h'（x）＞0得0＜x＜1，此时函数单调递增，
由h'（x）＜0得x＞1，此时函数单调递减，
∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值，h（1）=ln1-1+2=1．
（Ⅲ）构造函数f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），
∴f′（x）=lnx-ln（4-x）=ln

x

4-x

．
∴当x=2时，函数f（x）有最小值．a＞0，b＞0，
不妨设a+b=4，
则alna+blnb=alna+（4-a）ln（4-a）≥2•

a+b

2

ln（

a+b

2

）=（a+b）ln

a+b

2

，
∴alna+blnb≥（a+b）ln

a+b

2

，
∵0＜b＜a，∴等号取不到，
故alna+blnb＞（a+b）ln

a+b

2

成立．

点评：本题主要考查导数的应用，利用函数单调性，极值和最值与导数之间的关系是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．